확률은 같은데 당첨금은 다르다, 사람들이 몰리는 번호

이 시리즈에서 여러 번 같은 말을 반복했습니다. AI도, 이월수도, 미출수도, 궁합수도, 고정수와 제외수도 당첨 확률을 조금도 바꾸지 못한다고요. 그런데 정말로 바뀌는 것이 하나 있습니다. 확률이 아니라 당첨됐을 때 받는 금액입니다.

1. 파리뮤추얼, 당첨금을 나누는 방식

로또6/45의 1~3등 당첨금은 파리뮤추얼(pari-mutuel) 방식으로 지급됩니다. 정해진 금액을 주는 것이 아니라, 그 등수에 배정된 당첨금 총액을 그 등수를 맞춘 사람 수로 나눠 지급하는 구조입니다. 1등 당첨금 총액이 100억 원인데 당첨자가 한 명뿐이면 그 사람이 100억 원을 다 가져갑니다. 열 명이면 각각 10억 원씩 나눠 갖습니다. 참고로 4등 5만 원과 5등 5천 원은 이 구조가 아니라 고정 당첨금입니다. 이 글에서는 1등에 대해서만 다루겠습니다.

여기서 확률과 당첨금을 헷갈리면 안 됩니다. 내가 산 조합이 1등일 확률은 언제나 1 / 8,145,060으로 동일합니다. 다른 사람이 같은 조합을 몇 명이나 샀는지는 내가 산 조합이 당첨될지 여부에 전혀 영향을 주지 않습니다. 반면 같은 회차에서 내가 당첨됐다고 할 때 그 상금을 몇 명과 나누게 되는지는 완전히 다른 문제입니다. 그 답은 사람들이 어떤 조합을 선호하는지에 달려 있습니다.

2. 133명이 함께 1등이 된 날

이 구조가 실제로 어떤 결과를 낳는지 보여주는 유명한 사례가 있습니다. 1995년 1월 14일 영국 국립복권(UK National Lottery) 추첨에서 7, 17, 23, 32, 38, 42가 당첨번호로 나왔습니다. 직전 회차에서 1등이 나오지 않아 잭팟이 이월되면서 16,293,830파운드(약 304억 원)까지 불어나 있었습니다. 영국 복권 역사상 두 번째 이월이었습니다. 추첨일까지 팔린 복권은 7,000만 장이었습니다.

당시 영국 복권은 49개 번호 중 6개를 고르는 방식이라 조합 수가 13,983,816개입니다. 7,000만 장이 모든 조합에 고르게 흩어졌다면 특정 조합 하나를 고른 사람은 평균 5명 안팎이어야 합니다. 그런데 이 조합을 맞춘 사람은 133명이었습니다. 잭팟을 133등분한 결과 1인당 배당금은 122,510파운드(약 2억 2,900만 원)였습니다. 당첨자가 한 명뿐이었다면 1,629만 파운드(약 304억 원) 전액을 혼자 가져갔을 자리가, 133명이 나눠 가지면서 1인당 몫이 133분의 1로 줄어든 것입니다.

왜 하필 그 조합에 사람이 몰렸는지는 하나의 원인으로 입증된 적이 없습니다. 다만 수학자 키트 예이츠는 당첨번호를 마킹 용지에 찍어 보면 눈에 띄는 특징이 몇 가지 있다고 지적합니다. 첫째, 연속된 번호가 하나도 없습니다. 둘째, 여섯 개가 전부 다른 줄에 있으면서 바로 위아래로 겹치는 번호도 없습니다. 고르게 흩어져 있지만 완전히 규칙적이지는 않은 모양입니다. 셋째, 용지 바깥쪽 열은 비어 있고 여섯 개 모두 안쪽 두 열에서 나왔습니다. 객관식 답안지에서 아무거나 찍을 때 가운데를 고르는 경향, 이른바 중앙 편향과 닮았습니다. 사람들이 머릿속으로 무작위다운 모양을 그릴 때 나오는 특징들이 한 조합에 다 들어 있었던 셈입니다.

이 사례가 중요한 이유는 확률이 아니라 사람들의 선택이 문제였다는 점입니다. 133명 중 누구도 확률을 더 높게 만드는 조합을 산 것이 아닙니다. 각자의 조합이 1등일 확률은 다른 모든 조합과 똑같았습니다. 같은 조합을 고른 사람이 유난히 많았을 뿐입니다.

3. 한국은 어떨까

국내 동행복권은 어떤 조합을 몇 명이 샀는지 공개하지 않습니다. 그래서 어느 조합에 구매가 얼마나 몰리는지를 직접 세어보는 것은 불가능합니다. 다만 회차별 1등 당첨자 수와 회차별 총 판매금액은 공식 통계로 공개되어 있고, 이 둘만으로도 간접적인 검증이 가능합니다.

한 회차에 판매된 게임 수를 N이라고 하겠습니다. 모든 게임이 서로 독립적으로 조합을 균등하게 골랐다면 1등 당첨 게임 수는 이항분포를 따릅니다. 성공 아니면 실패로 끝나는 시행을 N번 반복한다고 해 봅시다. 그때 성공이 몇 번 나오는지를 나타내는 분포가 이항분포입니다. 동전을 열 번 던져 앞면이 몇 번 나오는지가 대표적인 예입니다. 로또에서는 판매된 게임 하나하나가 시행이고 그 게임이 1등이면 성공입니다.

그런데 N은 1억 게임 안팎인데 개별 당첨 확률은 800만분의 1 수준입니다. 시행 횟수가 아주 많고 성공 확률이 아주 작으면 이항분포는 포아송 분포로 아주 정확하게 근사됩니다. 포아송 분포는 드물게 일어나는 사건이 정해진 범위 안에서 몇 번 일어나는지를 나타내는 분포입니다. 이 분포를 정하는 값은 평균 발생 횟수 하나뿐입니다. 이 값을 λ(람다)라고 씁니다. 로또에서는 λ = N ÷ 8,145,060, 즉 그 회차에서 기대되는 1등 당첨 게임 수입니다. 1억 게임이 팔렸다면 λ는 약 12.3입니다.

포아송 분포의 핵심 성질은 평균과 분산이 같다는 점입니다. 분산은 값들이 평균에서 얼마나 흩어져 있는지를 나타내는 수치입니다. 회차마다 당첨자가 8명 안팎으로 고르게 나오면 분산이 작습니다. 어떤 회차는 0명이고 어떤 회차는 30명이면 분산이 큽니다. 실제 데이터에서 직접 구한 분산이 관측 분산입니다. 관측 분산을 λ로 나눈 값을 분산 지수(index of dispersion)라고 합니다. 모두가 균등하게 골랐다면 분산 지수는 1 근처에 머물러야 합니다. 사람들이 특정 조합에 쏠려서 번호를 고른다면 당첨자가 유난히 많은 회차와 적은 회차가 이론보다 크게 벌어지고, 분산 지수는 1보다 커집니다.

1회(2002년 12월)부터 1,226회(2026년 5월)까지 전 회차의 1등 당첨자 수를 계산한 결과는 다음과 같습니다.

분산 지수가 1에 가까우면 포아송 분포와 구별되지 않는다는 뜻입니다. 크게 벗어나면 그 자체로 무언가 다른 요인이 섞여 있다는 신호가 됩니다. 3.13은 확연히 벗어난 값입니다.

4. 판매량 차이를 걷어내도 남는 것

다만 여기에는 함정이 하나 있습니다. 회차마다 팔린 게임 수가 크게 다릅니다. 1회에는 약 184만 게임이 팔렸는데 1,226회에는 약 1억 2,026만 게임이 팔렸으니 65배 차이입니다. 판매 금액으로는 37억 원에서 1,200억 원대로 약 33배 늘었지만, 88회부터 게임 단가가 2,000원에서 1,000원으로 내려갔기 때문에 게임 수로 따지면 증가폭이 이보다 훨씬 큽니다. 그리고 포아송 분포의 λ를 결정하는 것은 판매 금액이 아니라 게임 수입니다.

판매량이 많은 회차는 당첨자 수도 자연히 늘어납니다. 그래서 모두가 완전히 무작위로 번호를 골랐다 해도 회차마다 판매량이 다르면 그것만으로 당첨자 수가 회차별로 들쭉날쭉해집니다. 번호 쏠림이 전혀 없어도 분산 지수가 1보다 커질 수 있다는 뜻입니다. 위의 3.13을 그대로 "번호 쏠림의 크기"로 읽으면 과장이 됩니다.

그래서 회차별 판매금액을 게임 단가로 나눠 그 회차에 실제로 팔린 게임 수를 구했습니다. 거기서 회차마다 기대 당첨자 수를 따로 계산한 뒤 이 기대값 대비 분산을 다시 구했습니다. 결과는 다음과 같습니다.

실제 합계와 기대 합계의 비율이 0.996으로 1에 거의 붙는다는 점이 먼저 눈에 띕니다. 추첨이 공정하다면 판매된 게임 하나하나가 1등일 확률은 언제나 1 / 8,145,060이므로, 사람들의 번호 선택에 어떤 쏠림이 있더라도 전체 당첨자 수의 평균은 이론값과 맞아야 합니다. 이 숫자는 그 원리를 증명한 것이 아니라, 이론이 예측한 대로 데이터가 나왔다는 확인입니다. 달라질 수 있는 것은 평균이 아니라 분산입니다.

판매량 차이를 걷어낸 뒤에도 보정 분산 지수는 1.77로 포아송 이론값보다 큽니다. 처음에 나온 3.13 중 상당 부분은 판매량 변동으로 설명되지만, 전부는 아닙니다. 여기서 1.77을 "사람들의 선택이 분산을 77% 늘렸다"고 읽으면 안 됩니다. 판매량을 걷어낸 뒤 남은 과분산의 크기가 1.77이라는 뜻이지, 원인별로 나눠 계산한 값이 아니기 때문입니다. p-value가 아주 작다는 것 역시 "쏠림이 존재할 확률이 그만큼 높다"는 의미가 아니라, 모두가 독립적으로 균등하게 골랐다는 가정 아래에서는 이 정도로 벌어진 분산이 관측되기 어렵다는 뜻입니다.

88회 이후 회차만 따로 계산해도 보정 분산 지수는 1.72로 거의 같습니다. 게임 단가가 바뀌던 초창기를 통째로 빼도 결과가 유지된다는 뜻입니다.

여기서 분명히 해둘 것이 있습니다. 이 분석은 다음 회차의 당첨번호를 예측하는 도구가 아닙니다. 로또 추첨 자체는 여전히 완전한 독립 시행입니다. 지난 회차의 결과가 다음 회차에 어떤 영향도 주지 않습니다. 이번 분석이 보여주는 것은 추첨의 무작위성이 아니라, 실제로 팔린 조합들의 분포가 균등 선택 모형과 다르다는 사실입니다. 추첨과 사람의 선택은 완전히 다른 두 개의 확률 과정입니다. 이번 글은 그중 후자에 관한 이야기입니다.

5. 사람들은 어떤 번호를 고르는가

국내 데이터가 말해주는 것은 여기까지입니다. 사람들의 선택이 균등하지 않다는 사실은 확인했습니다. 하지만 어떤 모양의 조합에 사람이 몰리는지는 회차별 당첨자 수만으로 알 수 없습니다. 생일 숫자가 몰리는지, 특정 홀짝 비율이 몰리는지, 마킹 용지 위의 어떤 배열이 몰리는지를 이 숫자 하나로는 구분하지 못합니다. 이 부분을 직접 들여다본 연구는 영국에 있습니다.

조너선 사이먼은 1998년 영국 국립복권 한 회차에서 실제로 선택된 조합의 분포를 분석했습니다. 결론은 논문 초록 첫머리에 있습니다. 대부분의 플레이어는 조합을 무작위로 고르지 않고 저마다의 방식으로 용지를 채운다는 것입니다.

같은 해 사우샘프턴 대학 연구진은 다른 방향에서 접근했습니다. 초기 113회차의 3개·4개·5개 일치 당첨자 수와 판매량을 가지고 1,400만 개 조합 각각이 얼마나 자주 선택되는지를 거꾸로 추정한 것입니다. 영국도 조합별 구매량을 공개하지 않기 때문에 당첨자 수에서 선택 분포를 역산한 셈입니다. 당첨자 수로 선택의 쏠림을 읽어낸다는 점에서 이번 글의 국내 분석과 발상이 같습니다. 눈에 띄는 결론은 사람들이 용지 가운데 쪽 번호를 선호한다는 것이었습니다. 예이츠는 133명 사례에서 읽어낸 세 가지 특징이 이 연구에서 모두 확인됐다고 정리합니다. 생일에 쓰이는 1~31 범위를 그 위 숫자보다 자주 고르는 경향도 같이 확인됐습니다.

이런 쏠림이 돈으로는 얼마나 차이를 만드는지도 예이츠가 정리해 두었습니다. 영국 복권에서 번호를 순전히 무작위로 고르면 1파운드를 쓸 때 기대할 수 있는 회수액은 약 55펜스입니다. 사람들이 피하는 모양, 곧 비인기 조합을 고르면 이 기대 회수액이 90펜스를 넘길 수 있다고 그는 추정합니다. 사우샘프턴 연구도 비인기 조합을 고르면 기대 당첨금이 두 배가 될 수 있다고 썼습니다. 당첨 확률은 어느 조합이나 똑같은데 나눠 가질 사람 수가 달라지는 것만으로 이만큼 벌어집니다. 영국 복권의 구조와 당시 데이터를 기준으로 한 수치라서 국내에 그대로 옮길 수는 없습니다. 다만 몫의 차이가 무시할 크기가 아니라는 점은 분명합니다.

한국도 선택이 균등하지 않다는 점에서는 다르지 않습니다. 앞 절에서 본 보정 분산 지수 1.77이 그 국내 증거입니다. 어떤 모양이 얼마나 몰리는지는 아직 재지 못했지만, 몰림 자체는 국내 데이터에서도 확인됩니다.

6. 그래서 무엇이 달라지는가

정리하면 이렇습니다. 내가 산 조합이 1등에 당첨될 확률은 언제나 1 / 8,145,060이며 어떤 방법으로 조합을 골라도 바뀌지 않습니다. 하지만 당첨됐을 때 그 상금을 나눠 가질 사람의 수는 확률과 무관한 별개의 문제입니다. 실제 데이터를 보면 사람들의 선택은 모든 조합에 고르게 퍼져 있지 않습니다.

어떤 조합이 다른 조합보다 사람들에게 덜 선택된다는 사실을 안다면, 그 조합을 고르는 것은 당첨 확률을 높이는 일이 아니라 당첨됐을 때 상금을 나눠 가질 사람의 수가 적을 가능성을 높이는 일입니다. 133명이 함께 1등이 됐던 영국 사례가 보여주듯, 이 차이는 결코 작지 않습니다.

운은 아무도 고르지 못합니다. 하지만 당첨됐을 때 누구와 나눌지는 사람마다 다릅니다. 이것이 로또에서 플레이어가 손댈 수 있는 유일한 변수입니다. 패턴로또가 다루는 것도 확률이 아니라 이 몫입니다. 국내에서 어떤 모양의 조합이 얼마나 몰리는지는 영국 연구가 그랬듯 따로 분석해야 할 문제입니다. 그 이야기는 다음 글에서 이어가겠습니다.

마치며

로또 당첨 확률은 어떤 조합을 고르든 절대 바뀌지 않습니다. 이 시리즈에서 계속 확인해 온 사실이며 이번 글에서도 다르지 않습니다. 그래도 파리뮤추얼 구조 아래에서는 당첨된 이후의 이야기가 하나 더 있습니다. 133명이 함께 1등이 됐던 그날처럼, 확률은 같아도 결과는 같지 않을 수 있습니다. 이 차이를 만드는 것은 운이 아니라 다른 사람들의 선택입니다. 그 선택을 데이터로 들여다보는 것이 이번 글의 목적이었습니다. 패턴로또가 손대는 것은 운이 아니라 몫입니다.

데이터 및 계산 근거

• 국내 데이터: 동행복권 공식 통계, 1회(2002-12-07)~1,226회(2026-05-30) 전 회차의 1등 당첨자 수와 총 판매금액

• 분석 방법: 회차별 1등 당첨자 수의 분산 지수(index of dispersion) 및 카이제곱 적합도 검정. 판매량 보정은 회차별 총 판매금액을 게임 단가로 나눈 판매 게임 수를 기준으로 기대 당첨자 수를 재계산. 게임 단가는 1~87회 2,000원, 88회 이후 1,000원

• 영국 사례: 1995년 1월 14일 UK National Lottery 추첨 결과. 판매량 7,000만 장은 Kit Yates 글 기준. 당시 6/49 방식의 조합 수는 C(49,6) = 13,983,816이며 7,000만 ÷ 13,983,816 ≈ 5.0

• 원화 환산: 2026년 8월 30일 환율(1파운드 ≈ 1,868원) 기준 근사값. 1995년 당시 환율과 물가는 반영하지 않음

• 기대 회수액 55펜스·90펜스: Kit Yates 글의 추정치. 영국 복권의 배당 구조와 당시 데이터 기준이며 국내 수치가 아님

참고 문헌

• 동행복권 공식 통계 데이터

• Kit Yates, "That time when 133 people won the lottery on the same day", 2025

• Jonathan Simon, "An Analysis of the Distribution of Combinations Chosen by UK National Lottery Players", Journal of Risk and Uncertainty 17(3), 1998

• S. J. Cox, G. J. Daniell, D. A. Nicole, "Using Maximum Entropy to Double One's Expected Winnings in the UK National Lottery", Journal of the Royal Statistical Society Series D (The Statistician) 47, 1998, pp. 629–641