로또 번호의 소수와 합성수 비율, 당첨에 영향이 있을까?

로또 번호를 분석하다 보면 이런 질문을 만납니다. "당첨 번호에는 소수가 몇 개쯤 들어갈까?" "소수 비율이 높은 조합이 더 잘 나오는 거 아닐까?"

실제로 "로또 소수 비율" 같은 키워드를 검색해보는 분들이 있더군요. 그래서 이번에는 소수와 합성수가 로또 번호에서 어떤 비율로 나타나는지, 정의부터 짚고 전체 조합과 실제 당첨 데이터로 직접 확인해봤습니다. AC값 때와 같은 방식입니다.

먼저, 1부터 45까지 소수는 몇 개일까?

소수는 1과 자기 자신으로만 나누어지는 수입니다. 1부터 45까지 추려보면 이렇습니다.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43

총 14개입니다. 한 가지 정확히 짚고 갈 게 있습니다. 1은 소수도 합성수도 아닙니다. 소수의 정의가 "1보다 큰 자연수 중…"이라서 1은 어느 쪽에도 속하지 않는 별도의 수입니다. 그래서 1부터 45까지를 나누면 이렇게 됩니다.

• 소수: 14개 (2, 3, 5, … 43)[blog-post-lotto-02-ac-value-v5](../03.AC값이란 무엇인가 - 로또 통계의 기초/blog-post-lotto-02-ac-value-v5.md)
• 합성수: 30개
• 1: 소수도 합성수도 아닌 수

그래서 이 글의 분석은 '소수 개수'를 기준으로 하고, 나머지 번호에는 합성수와 숫자 1이 함께 들어간다고 전제하고 보겠습니다. 어쨌든 로또 번호판의 약 31%(14/45)가 소수인 셈입니다.

한 조합의 소수 개수 세보기

방법은 단순합니다. 뽑힌 6개 번호 중 소수가 몇 개인지 세면 됩니다. 예를 들어 5, 12, 17, 24, 33, 40이라는 조합이 있다고 해보죠.

• 5 → 소수
• 12 → 합성수 (2 × 6)
• 17 → 소수
• 24 → 합성수
• 33 → 합성수 (3 × 11)
• 40 → 합성수

소수는 5와 17, 두 개입니다. 이 조합의 '소수 개수'는 2죠. 어렵지 않습니다. 그럼 이걸 전체 조합에 적용하면 어떤 그림이 나올까요.

전체 814만 조합의 소수·합성수 구성 분포

전체 8,145,060개 조합을 소수 개수별로 분류해봤습니다.

※ '나머지 번호 수'에는 합성수와 숫자 1이 함께 포함됩니다.

가장 흔한 건 소수 2개로, 전체의 약 35.15%입니다. 소수 1~3개를 묶으면 전체의 약 84.45%고요. 반대로 6개가 전부 소수인 조합은 3,003개, 0.037%뿐입니다.

이 분포에는 그럴듯한 이유가 있습니다. 45개 중 소수가 14개니까, 번호 하나를 뽑을 때 소수일 확률은 14/45입니다. 6개를 뽑으면 기대되는 소수 개수는 6 × (14/45) ≈ 1.87개고요. 그래서 분포의 봉우리가 1~2개 근처에 생깁니다. 별도의 규칙이 아니라 단순한 비율 계산의 결과입니다.

실제 1등 당첨 번호는 어땠을까?

전체 조합 분포만 보면 절반짜리입니다. 실제 당첨 번호도 같은 방식으로 세봐야죠. 1회부터 1,226회까지 모든 1등 당첨 번호의 소수 개수를 계산해 전체 조합과 나란히 놓아봤습니다.

두 분포가 거의 똑같습니다. 가장 큰 차이가 소수 2개 칸의 0.82%포인트이고, 나머지는 1%포인트 안쪽입니다. 1,226회라는 표본에서 이 정도면 무작위 변동 범위입니다.

실제 당첨 번호의 평균 소수 개수도 계산해봤더니 1.856개였습니다. 앞서 이론적으로 구한 기대값 1.87개와 거의 정확히 맞아떨어집니다.

이게 의미하는 건

당첨 번호가 소수 개수를 따로 가리지 않는다.

소수 2개짜리 조합이 자주 당첨되는 것처럼 보이는 건, 그런 조합이 당첨에 유리해서가 아니라 원래 전체 조합에서 가장 많기 때문입니다. AC값 때와 똑같은 구조죠. 추첨은 소수 비율 같은 걸 의식하지 않고, 그저 확률대로 작동합니다.

그럼 "소수를 많이 넣으면 잘 맞는다"는 말은?

가끔 "소수가 많은 조합이 당첨 확률이 높다"는 식의 말이 들립니다. 데이터로 보면 그렇지 않습니다. 6개가 전부 소수인 조합은 1,226회 동안 한 번도 나오지 않았습니다.

다만 여기에 특별한 의미를 둘 필요는 없습니다. 6개 모두 소수인 조합은 전체에서 0.037%뿐이라, 1,226회를 다 합쳐도 기대 출현 횟수가 약 0.45회입니다. 한 번 나오기도 어려운 수치니까, 안 나온 게 오히려 자연스럽습니다.

분명히 해두면, 소수가 몇 개든 그 조합 하나의 1등 확률은 똑같이 1 / 8,145,060입니다. 소수를 많이 넣는다고 확률이 오르지도, 적게 넣는다고 내려가지도 않습니다.

그럼 소수 비율은 쓸모가 없을까?

확률을 바꾸는 용도로는 의미가 없습니다. 소수와 합성수의 비율을 어떻게 맞추든 당첨 확률은 올라가지 않습니다. 모든 조합의 1등 확률은 동일하게 1 / 8,145,060입니다.

다만 조합의 형태를 다듬는 기준으로는 쓸 만합니다. 예를 들어 소수가 0개이거나 6개인 조합은 전체에서 매우 드문 형태입니다(각각 9%, 0.04%). 이렇게 한쪽으로 치우친 조합을 피하고 싶을 때, 소수·합성수 비율을 다른 통계 지표(AC값, 홀짝 비율 등)와 함께 참고 기준으로 삼으면 됩니다. 어디까지나 '확률을 높이는 도구'가 아니라 '극단적인 조합을 걸러내는 참고 지표'라는 선에서요.

이게 소수·합성수 비율을 과장 없이 쓰는 방법입니다.

다음 편 예고

다음 글에서는 예고한 대로 '홀짝 비율'을 다뤄볼 예정입니다. "6개 다 홀수면 안 된다", "3:3이 가장 좋다" 같은 말이 정말 맞는지, 이번처럼 실제 데이터로 검증해보겠습니다.

읽어주셔서 감사합니다. 질문이나 의견은 댓글로 남겨주세요.

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