고정수와 제외수, 수학적으로 따져보기

"꿈에 나온 7번은 꼭 넣고 싶다", "지난주에 나온 번호는 빼고 싶다". 로또 번호 생성기에서 가장 많이 쓰이는 기능이 바로 고정수(포함할 번호) 와 제외수(배제할 번호) 입니다. 결론부터 말하면, 두 기능 모두 당첨 확률을 높이지 않습니다. 하지만 확률을 바꾸지 못한다고 해서 아무것도 바꾸지 못하는 것은 아닙니다. 이번 글에서는 고정수와 제외수가 정확히 무엇을 바꾸고 무엇을 바꾸지 못하는지, 숫자로 따져봅니다.

1. 고정수와 제외수란 무엇인가

• 고정수(fixed numbers): 생성되는 모든 조합에 반드시 포함시키는 번호입니다. 7번을 고정하면, 어떤 조합이 나오든 7번이 들어 있습니다.
• 제외수(excluded numbers): 생성되는 모든 조합에서 반드시 빼는 번호입니다. 4번을 제외하면, 4번이 들어간 조합은 아예 만들어지지 않습니다.

두 기능은 방향만 반대일 뿐 본질이 같습니다. 8,145,060개의 전체 조합 공간에서 내가 플레이할 부분 공간(subspace)을 골라내는 일입니다. 그리고 부분 공간을 고르는 순간, 하나의 베팅이 추가됩니다. "당첨 조합이 내가 고른 부분 공간 안에 있을 것"이라는 베팅입니다.

계산에 들어가기 전에 이 글 전체에서 쓰일 기호 하나만 정리하겠습니다. 45개 번호 중 6개를 고르는 방법의 가짓수를 C(45, 6) 라고 씁니다(조합, combination).

C(45, 6) = (45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 8,145,060

분자는 "첫 공은 45개 중 하나, 다음 공은 남은 44개 중 하나…"로 6개를 차례로 뽑는 경우의 수이고, 같은 6개 번호를 뽑는 순서만 다른 경우가 720가지(6×5×4×3×2×1)씩 겹치므로 그만큼 나눠줍니다. 앞으로 C(44, 5), C(39, 6) 같은 기호가 나오면 전부 "44개 중 5개를 고르는 가짓수", "39개 중 6개를 고르는 가짓수"로 읽으면 됩니다.

2. 고정수는 "이 번호는 나온다"에 거는 베팅이다

45개 번호 중 6개가 뽑히므로 특정 번호 하나가 이번 주 당첨번호에 포함될 확률은 다음과 같습니다.

6 / 45 = 13.33%

고정수를 늘리면, 고정한 번호가 모두 당첨번호에 포함될 확률은 곱셈으로 급격히 낮아집니다. 계산해 보면 이렇습니다.

이 표는 두 가지를 말해줍니다.

첫째, 고정수는 전제 조건입니다. 고정한 번호가 하나라도 빗나가면 그 회차에 생성한 모든 조합은 1등이 될 수 없습니다. 3개를 고정하는 순간 1,000회차 중 약 999회는 시작하기도 전에 1등 가능성이 사라집니다.

둘째, 전제가 맞았을 때의 보상은 극적입니다. 고정한 1개가 실제로 나온다면 나머지 5개를 맞히는 문제로 축소됩니다. 조합 공간이 8,145,060에서 1,086,008로, 약 1/7.5로 줄어듭니다. 물론 이 둘을 곱하면 정확히 원래의 1/8,145,060으로 돌아옵니다. 줄어든 조합 공간의 이득은 13.33%라는 전제 조건의 리스크로 이미 값을 치른 셈입니다.

P(고정수 적중) × P(적중 시 나머지 5개 일치)
= (13.33%) × (1 / 1,086,008)
= 1 / 8,145,060

3. 제외수는 공간을 줄인 만큼 리스크를 진다

제외수는 반대 방향의 베팅입니다. "이 번호들은 안 나온다"에 거는 것입니다. N개를 제외했을 때 제외한 번호가 하나도 안 나올 확률, 즉 베팅이 살아남을 확률은 다음과 같습니다.

주목할 지점은 5개입니다. 겨우 5개를 제외했을 뿐인데 제외한 번호 중 하나가 당첨번호에 등장할 확률이 이미 절반을 넘습니다(52.87%). 10개를 제외하면 80%, 15개면 93%입니다. "지난 회차에 나온 번호 6개 + 안 좋아하는 번호 몇 개"를 습관처럼 빼다 보면 어느새 열 개를 훌쩍 넘기기 쉬운데, 그 순간부터는 대부분의 회차에서 1등 가능성이 원천 차단된 조합을 들고 있게 됩니다.

고정수와 제외수를 함께 쓰면 공간은 훨씬 가파르게 줄어듭니다. 예를 들어 2개를 고정하고 10개를 제외하면 남는 조합은 C(33, 4) = 40,920개. 전체의 0.5%에 불과한 좁은 공간입니다. 당첨 조합이 그 안에 있다면 대단히 유리해진 것이고, 없다면 그 회차는 처음부터 끝난 게임입니다. 확률적으로는 대부분 없는 쪽입니다.

4. 고수들은 무엇을 보고 고르는가

고정수와 제외수를 아무 번호나 찍어서 정하는 사람은 드뭅니다. 소위 고수들은 전 회차 당첨 조합을 분석해 후보를 추립니다. 대표적인 분석법을 실체와 함께 살펴보겠습니다. 실체 검증에는 이론 계산에 더해 완전 무작위 추첨 10만 회를 컴퓨터로 시뮬레이션한 결과를 사용했습니다. 무작위가 만들어내는 수치와 분석법이 주장하는 수치가 같다면, 그 분석법은 패턴이 아니라 무작위성 자체를 보고 있다는 뜻입니다.

이월수, "직전 회차 번호 중 하나는 또 나온다"

이월수는 직전 회차 당첨번호 6개 중 이번 회차에 다시 등장한 번호를 말합니다. 국내 주요 로또 통계 사이트들이 회차별 이월수 현황을 별도 분석 메뉴로 제공할 만큼 대표적인 항목입니다. 커뮤니티에서는 "이월수가 나오는 회차가 안 나오는 회차보다 많으니 조합에 1개는 넣어라"는 조언으로 이어지곤 합니다. 실제로 역대 당첨 통계를 세어 보면 이월수가 등장한 회차가 더 많은 것도 사실이라 꽤 설득력 있게 들립니다.

직전 6개 중 1개 이상이 다시 나올 확률은 정확히 계산할 수 있습니다.

1 − C(39, 6) / C(45, 6) = 59.94%

쉽게 풀어보기

C(45, 6)는 1장에서 정리한 대로 로또에서 나올 수 있는 모든 조합, 8,145,060개입니다. C(39, 6)는 지난주 당첨번호 6개를 뺀 나머지 39개만으로 6개를 고르는 가짓수, 다시 말해 "이월수가 하나도 없는 조합"의 개수(3,262,623개)입니다.

그런데 왜 굳이 1에서 빼는 걸까요? "적어도 1개 나올 확률"을 바로 세려면 1개 나오는 경우, 2개 나오는 경우, 3개 나오는 경우…를 전부 더해야 해서 복잡합니다. 반대로 "하나도 안 나오는 경우"는 한 가지뿐이라 세기 쉽습니다. 그래서 그걸 먼저 구한 다음 100%에서 뺍니다. 3,262,623 ÷ 8,145,060 ≈ 40%이니, 100% − 40% = 60%.

식 없이 그림으로 생각하면 더 쉽습니다. 공을 한 개씩 뽑는다고 상상해 보세요. 첫 번째 공이 지난주 번호 6개를 피해 갈 확률은 45개 중 39개, 즉 39/45입니다. 두 번째 공은 남은 44개 중 38개(38/44)… 이렇게 여섯 번 연속으로 피할 확률을 곱하면,

39/45 × 38/44 × 37/43 × 36/42 × 35/41 × 34/40 ≈ 40%

여섯 번 모두 피해 가는 경우가 10번 중 4번뿐이니, 뒤집으면 10번 중 6번은 지난주 번호 중 하나가 다시 등장한다는 뜻입니다.

무작위 시뮬레이션 10만 회의 결과도 59.87%로 일치합니다. 이월수 개수 자체를 평균 내면 회차당 0.8개로, 이 역시 이론값(6 × 6/45 = 0.8)과 같습니다. 약 60%는 "하나라도 나올 확률"이고 0.8개는 "평균 개수"라 서로 다른 통계지만, 둘 다 무작위 추첨만으로 자연스럽게 나오는 값입니다. 즉 "약 60%의 회차에 이월수가 등장한다"는 관찰 자체는 사실입니다. 다만 그 60%는 무작위 추첨이 원래 만들어내는 수치입니다. 그리고 결정적으로, 이월수가 나올 것을 안다 해도 직전 6개 중 어느 것이 나올지는 알 수 없습니다. 각 번호의 출현 확률은 여전히 13.33%씩입니다. 그러니 "이월수가 자주 나온다"는 말은 넓은 그물을 두고 하는 진술일 뿐, 특정 번호를 짚어주지는 못합니다.

미출수, "10회 넘게 안 나왔으니 나올 때가 됐다"

미출수(장기 미출번호) 분석은 오랫동안 등장하지 않은 번호를 찾아 고정수로 추천합니다. 재미있게도 정반대 유파도 있습니다. 같은 데이터를 보고 "흐름이 죽은 번호"라며 제외수로 추천하는 쪽입니다. 같은 관찰에서 정반대 처방이 나온다는 것 자체가 이 분석에 예측력이 없다는 신호입니다.

시뮬레이션으로 확인해 보면, 10회 연속 미출 상태인 번호가 바로 다음 회차에 나올 확률은 13.34%입니다. 아무 번호나 골랐을 때의 13.33%와 사실상 같습니다. "나올 때가 됐다"는 직감은 도박사의 오류의 교과서적 사례입니다.

덧붙이면, 임의의 시점에 "최근 10회 동안 안 나온 번호"는 평균 10.8개 존재합니다. 장기 미출수는 특이 현상이 아니라 무작위성이 매주 자동으로 공급하는 상비품입니다. 분석할 거리가 마르지 않으니 분석은 영원히 계속될 수 있습니다.

궁합수, "3번과 17번은 환상의 짝꿍"

궁합수 분석은 역대 데이터에서 유난히 자주 함께 나온 번호 쌍을 찾습니다. 45개 번호로 만들 수 있는 쌍은 C(45, 2) = 990개이고 특정 쌍이 한 회차에 함께 나올 확률은 1.52%입니다. 1,180회차 동안이라면 쌍마다 평균 17.9회, 표준편차 4.2회 수준으로 함께 등장합니다.

여기서 시뮬레이션이 흥미로운 결과를 보여줍니다. 완전 무작위 추첨 1,180회에서도 가장 자주 함께 나온 쌍은 33회, 가장 뜸한 쌍은 6회였습니다.

이 그래프에는 아무 규칙도 없습니다. 컴퓨터가 균등 확률로 뽑은 숫자일 뿐인데도 분포의 오른쪽 끝에는 33회씩 붙어 다닌 쌍이 놓여 있습니다. 990개나 되는 쌍을 한꺼번에 관찰하면 순수한 우연만으로도 평균보다 훨씬 자주 함께 나오는 "환상의 짝꿍"이 자연스럽게 생겨납니다. 실제 데이터에서 궁합수를 발견했다면 그것이 이 노이즈 범위를 벗어나는지부터 물어야 합니다. 벗어나지 않는다면 그저 무작위성의 그림자입니다. 통계학에서는 이를 다중 비교의 함정(multiple comparisons problem) 이라고 부릅니다. 충분히 많은 곳을 뒤지면 아무 데서나 특이한 것이 나옵니다.

이웃수, "지난주 번호의 옆 번호를 노려라"

직전 회차 번호의 ±1에 해당하는 이웃수가 나온다는 분석도 있습니다. 시뮬레이션 결과 이웃수가 1개 이상 등장하는 회차는 약 78.6%. 역시 높은 적중률처럼 보이지만 직전 6개 번호의 이웃은 최대 12개나 됩니다. 45개 중 12개를 후보로 걸어두고 6개를 뽑는데 하나도 안 걸리는 게 오히려 어려운 일입니다. 그물이 넓어서 자주 걸리는 것을 예측력이라고 부를 수는 없습니다.

고수들의 분석이 잘 맞아 보이는 이유

네 가지 분석법의 공통 구조가 보일 것입니다. 각 방법이 내세우는 적중률(이월수 60%, 이웃수 79% 등)은 실제로 관찰되는 수치입니다. 거짓말이 아닙니다. 하지만 그 수치는 전부 무작위 추첨이 스스로 만들어내는 값과 정확히 일치합니다. 분석이 무작위보다 나은 부분이 없다는 뜻입니다. 패턴이 존재한다는 것을 맞히는 일과 다음 회차의 번호를 맞히는 일은 완전히 다른 문제입니다.

5. 변하지 않는 것과 변하는 것

여기서 이전 글의 결론이 그대로 이어집니다. 로또는 독립 시행이고, 어떤 6개 조합을 들고 있든 그 조합이 1등일 확률은 언제나 1 / 8,145,060입니다. 고정수를 넣든 제외수를 빼든 내가 산 낱장 한 게임의 당첨 확률은 조금도 변하지 않습니다.

"지난주에 나온 번호는 이번 주에 안 나온다"는 근거로 제외수를 고른다면 그것은 도박사의 오류(Gambler's Fallacy) 입니다. 지난주에 나온 6개가 이번 주에 다시 나올 확률은 다른 어떤 특정 6개 조합과 정확히 같습니다.

그렇다면 변하는 것은 무엇일까요. 두 가지입니다.

1. 게임 간 상관관계(correlation) 가 변합니다. 고정수/제외수 없이 무작위로 5게임을 사면 다섯 번의 독립적인 시도입니다. 7번을 고정한 5게임은 다릅니다. 7번이 나오면 다섯 게임이 모두 살아 있고 안 나오면 함께 무너집니다. 결과가 한 방향으로 몰리는 전부 아니면 전무(all-or-nothing) 구조가 됩니다. 당첨 확률의 기대값은 같지만 결과의 분산(variance)은 커집니다.
2. 선택의 주체가 변합니다. 완전 무작위 조합은 기계가 고른 번호입니다. 고정수와 제외수는 그 무작위 위에 자신의 판단을 얹는 유일한 통로입니다. 확률을 바꾸지 못한다는 사실을 아는 채로 쓴다면 문제될 것이 없습니다. 심리학에서 말하는 통제감의 착각(illusion of control) 은 착각인 줄 알고 있는 사람에게는 더 이상 함정이 아닙니다.

6. 그래서 어떻게 쓰는 게 좋은가

확률을 바꾸지 못한다는 전제 위에서, 그래도 합리적으로 쓰는 방법은 있습니다.

• 고정수는 1~2개까지만. 1개 고정은 13.33%, 2개는 1.52%의 전제 위에 서는 일입니다. 3개부터는 0.1%대의 전제가 되어 사실상 매주 "이번 주도 아니네"를 반복하게 됩니다. 의미를 두는 번호 한두 개면 충분합니다.
• 제외수는 4개 이내로. 5개를 제외하는 순간 제외한 번호 중 하나가 당첨번호에 포함될 확률이 이미 절반을 넘습니다(52.87%). 특히 "지난주 당첨번호 6개 전부 제외" 같은 습관은 그 6개 중 하나가 이번 주에 다시 나올 확률이 약 60%라는 점에서 생각보다 무거운 베팅입니다.
• 좁힌 공간에는 필터를 함께. 고정수/제외수로 공간을 줄였다면 남은 공간 안에서 합계·홀짝·AC값 같은 통계 필터로 극단적인 조합을 걸러내는 것이 일관된 사용법입니다. 공간을 좁히는 도구와 조합의 형태를 다듬는 도구는 역할이 다르고 함께 쓸 때 서로를 보완합니다.
• 분석법은 선택 장치로 쓰되 근거로는 쓰지 말 것. 이월수로 고르든 미출수로 고르든 생일로 고르든, 어떤 방법으로 골라도 확률은 같습니다. 같기 때문에 역설적으로 어떤 방법을 써도 손해가 없습니다. 번호를 고르는 재미와 나름의 서사를 주는 도구로는 훌륭합니다. 손해는 단 하나, 이 분석에 예측력이 있다고 믿고 돈을 지불하는 순간 발생합니다.
• 분산이 커진다는 사실은 받아들이고 쓸 것. 고정수를 쓴 여러 게임은 함께 살고 함께 죽습니다. 그 구조가 싫다면 고정수 없이 게임마다 독립적인 조합을 쓰는 편이 맞고, "내 번호가 나오는 주에 크게 걸린다"는 구조를 선호한다면 고정수 쪽입니다. 이것은 확률의 문제가 아니라 취향과 분산 관리의 문제입니다.

마치며

고정수와 제외수는 당첨 확률을 1도 높여주지 않습니다. 이 사실을 숨기고 "황금 고정수", "필터링된 제외수"를 파는 서비스가 있다면 걸러야 합니다. 두 기능의 정직한 정체는 8,145,060개의 공간에서 내가 플레이할 구역을 고르는 도구입니다. 구역을 고르는 대가는 "당첨 조합이 그 구역 안에 있을 것"이라는 베팅입니다.

패턴로또의 고정수/제외수 기능도 같은 원칙 위에 있습니다. 확률을 높여준다고 말하지 않습니다. 다만 사용자가 자신의 판단을 얹을 통로를 열어두고 그 결과가 수학적으로 무엇을 의미하는지 있는 그대로 보여줄 뿐입니다. 착각인 줄 알고 즐기는 사람에게, 착각은 더 이상 함정이 아니니까요.

시뮬레이션 조건

본문의 시뮬레이션 수치(59.87%, 13.34%, 78.6%, 쌍 출현 6~33회 등)는 다음 조건에서 얻었습니다.

• 시행 횟수: 연속 100,000회 추첨
• 추첨 방식: 매 회 1~45에서 중복 없이 6개를 균등 확률로 추출
• 난수: Python 표준 라이브러리 random(메르센 트위스터), 시드를 42로 고정해 누구든 같은 결과를 재현할 수 있습니다
• 집계: 이월수·미출수·이웃수는 연속 회차 전 구간에서, 궁합수는 실제 로또 역사와 비슷한 길이의 1,180회 구간에서 집계

참고 문헌

• William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Wiley
• 동행복권 공식 통계 데이터